向量

0x01 向量的性质

有向线段

有向线段的概念建构于向量的方向与长度,差别在于多定义了始点与终点。
在文字描述时,如果已知某有向线段的起点和终点分别是A和B
此线段为:AB\vec{AB}
此线段的长度可以记为:AB=AB|\vec{AB}| = \overline{AB}
\overrightarrow{AB}

大小

向量的大小(Magnitude)也称模长、长度
向量 \overrightarrow{AB}

反向量

\vec{a} = \overrightarrow{AB}
-\vec{a} = \overrightarrow{BA}

三角形法则

简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。
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0x02 平行四边形法则

来源于力学的力的合成与分解

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a,b两个向量相加,合就是a+b
假设a和b都是二维空间 R2 的向量
其合就是上图中的平行四边形的对角线。

0x03 向量加法

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

A(X1,Y1),B(X2,Y2)A(X_1,Y_1), B(X_2,Y_2)

AA

先从A点沿着AB方向移动到B,再从B点沿BC方向移动到C

图示:

0x04 向量减法

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}

转成反向量加法

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}= \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}

图示:

0x05 向量的模

向量的大小(Magnitude)也称模长、长度
向量 \overrightarrow{AB} 的大小,也就是向量 \overrightarrow{AB} 的长度(或称模),记作 |\overrightarrow{AB}|

空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是:
x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}

平面向量(x,y),模长是:
x2+y2\sqrt{x^2+y^2}

0x06 向量平移

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若已知一个向量的终点坐标和起点坐标,
则向量坐标可以表示为终点与起点对应坐标之差

向量 a\vec{a} 坐标为:
A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)
将向量起点平移到原点形成向量 a\vec{a'}
坐标为:
A(x1x1,y1y1),B(x2x1,y2x1)A'(x_1 - x_1, y_1 - y_1), B'(x_2-x_1, y_2-x_1)

0x07 向量坐标 位置向量 坐标表示法

位置向量就是以原点为起始点,以该点为终点的向量。
向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
该向量是起点为原点的一个向量

向量 AB 的坐标 = 终点 B 的坐标 - 起点 A 的坐标

\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} = B - A

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letA=(x1,y1),B=(x2,y2)let\quad A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)
\vec{v} = \overrightarrow{AB} =(x_2-x_1, y_2 - y_1))

Means:
( Vector AB ) = ( Vector B ) - ( Vector A )

Unity:
create a vector from one point to another point ?

1
2
3
4
5
Vector3 newVector = targetPoint - initialPoint;
or
Vector3 newVector = targetTransform.position - fromTransform.position;
or
vSourceToDestination = vDestination - vSource;

实际上就是AB两点横向纵向的距离/差值,水平移动了多少, 垂直移动了多少,跟终点与起点的相对位移有关,与起点的位置无关

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向量可以通过两个点来计算出来,如下图,A经过向量AB到达了B,则向量AB就是(30, 35) – (10, 20) = (20, 15)。我们也能猜到向量BA会是(-20, -15),注意向量AB和向量BA,虽然长度一样,但是方向不同

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0x08 向量数乘

向量乘以实数,实数正负代表方向

0x09 向量夹角,向量数量积,点乘,内积

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a=(x1,y1),b=(x2,y2)\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)ba=(x2x1,y2y1)\vec{b}-\vec{a} = (x_2-x_1, y_2 - y_1)

在三角形ABC中,根据余弦定理有:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA\cdot OB \cdot \cosθ
|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cosθ

(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 = x_1^2 + y_1^2+x_2^2+y_2^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|cosθ
x_2^2 -2x_1x_2 + x_1^2 + y_2^2-2y_1y_2+y_1^2 = x_1^2 + y_1^2+x_2^2+y_2^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|cosθ
\bcancel{x_2^2} -2x_1x_2 + \bcancel{x_1^2} + \bcancel{y_2^2}-2y_1y_2+\bcancel{y_1^2} = \bcancel{x_1^2} + \bcancel{y_1^2}+\bcancel{x_2^2}+\bcancel{y_2^2} - 2|\vec{a}||\vec{b}|cosθ
|\vec{a}||\vec{b}|cosθ = x_1x_2 + y_1y_2
cosθ = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}
cosθ = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}